Notions de Mathématiques Appliquées à l'Informatique

SECTEUR NTie SPEClALllE TfCHNlQUUS DBRESEAUXINFORMATIQUES TRI NIVA U lECHNfCfPNSPECIALISE MODULE 3 NOnONS DE IATHEtvfATQUES APPLrQUES A LIlFOMfATIQUE RESUllE THEOlUQUE amp GUIDE DE TRA VAUX PRATIOUE Office de la Formation Prefessjoenelle et dela Promotion du Travail DIRECTION RICHGRCH GT lNGINlllEDE oRiATlON quotOYAUME DU MAROC

IOFPIYlIlHIF MORCHID OMAR IMAM CFMOTI DRGC NOM T PRENOM EFP DR DOCUMENT ELABORE PAR I NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE Resumde 186isorie et Guide de travaux dirig9s

IOFI17JIIJlln 2 b Rtalion dW1 tabl u de KaJpaugb 25 c Tabquotu de Kamaugh 6 3 llriablcs 26 d Tableau de Karnaugh A4 variables 16 c Ecriture dans Itableau de KARMUGH quot 27 d Autre reSles de simpliJicotioo 24 S Theorerne de MORGAN quot 24 6 Table de Karnaugh 24 P 4 a noclpc c Distributiviic 24 a Fonction QUI 21 b Fonetion -lO 21 d Fonction 1gt1AND 23 4 RCglesde SiTnplifieation dunc Icnction logiqu quot 24 a Commutativitc quot 24 b Associaliill 24 A Syslefdenumratfon quot quot j UI 8 1 Introduction quot quot quot 8 I Apercu historiquc 8 2 Exemples de systrneilde numeration quot quot quot II Des systemes positionnels 10 I Quest ce quun systeme de numeration L 10 2 Principe dune base quot quot quot quot 0 3 Les systemespositionllcls II III Lunitc de linformation et ses multiples 12 IV de ta bdCcimai Aune base ltlUleonque 12 VI Passage de la base binnilc vers une base quelcooque 13 I Passage de Ia base binire vees Ie decimal 13 2 Passage de Ibas binaire vers loctal 13 3 Passage de la base binaire vers Poetal quot quotquot l3 VII- Larithmetique binairc quot quot 14 I Laddition binaire 14 2 La mutnpticaiion quot 14 3 La sousrraction 14 4 La division 14 Vlli- Les nombres fraet04mels 15 I Codage avec virgule rue IS 2 Representalion de oombltesl virgule fiottante IS IX RepreeOtationdes nomln SlgnCs 16 L Par leur valeur absolue et Ieur signe 16 2 Representation des nombeesignes dans Iltode du compltment rcslteint 16 3 Representation des nombres signes dans Ie code du complement vrai 17 X En resumer pour larithmetiquc binaire quot 19 Xl- Representation des nombres signes Exemple sur un octet 20 B Algcbre de Boole er logique combinatoire quot 20 I George Boole 20 2 Variable booleenne 20 3 fnctions logiques de base 21 SOMMAlRE NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPUQUEES A LINFORMATIQUE NquotquotdolothOorie et Guid d uvaux dlriges

31 I OflPPTIDRIF Parametrc de Icndance ttlllrnle 45 b PHnImIIede dispeion 45 TRAVAUX DIRIGES 48 4 calcuJdes parunetrt-s de teadaaee 45 F La probabilite 37 I lotroduction quot 37 2 UNIVERS DES EVENEMfNTS 31 n Definitions j quotquot quot quot quot quot 3 7 b A-XIOlviESquot quot 38 3 PROBABILITES CONDITIONNLlLLe 40 G Resoudre des problemes de probbilite et de statistique 43 J Notion de variables qualjmDcs quot 43 2 Notion de variables qusmitatives quot quot quot quot 44 3 Rcprcscatation des variables qualitatives et qualitative 44 f Repitage de 0JIedans lID mbleau deKnallgll 11 g Lecture dunc fonelion quotquot111 uo tableau d kamaugh 19 h Regroupement de cases dans un tableau de Kamaugh 30 I Minimisation dune fonction dans un tableau de Knmnugh 30 J Resume 32 k CASpaniculier quot quot 32 C lunice demesure de Ifnformetlon eC ses multiples quot quot quotquot quotquot 33 D Lcs differents code binaires 33 1 Dilinilionsquot 33 2 Code binairc pur 33 3 Code blnaire IIlflamphiOIl code Gray 33 4 ConslructiOD du code Gray 33 S tes codes de careeteres 34 6 Lecode ASCU 34 E Lo denombrement quot quot 3S 1 Notation factorielle clptoprht1 quot quot quot 35 n Definition quot quotquot quot 35 b Proprictes quotquotquot quotquot quot quotquot quot quotquot 3 5 2 Arrangements de r objets parmi n 35 3quot Definition quot quot quot quot quot quotquot j6 b Autre definition quot 36 c ThCorCmc quot quot 36 3 Combinaisons de robjets panni n 36 a Definition 36 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPUQUEES A LINFORMA TlQUE R6fum6 de I theorie et Guido cktravaux dhiges

DESCRtPTION lobjeclif de ce modtie estreilJde des UJ coocepIs madlemailtrJesutiliseseniiomlaiquo1a 1moc16isaliclnsur ceseooceptsr9solIlicln la deproee ranalyw desrualilns cor a raiSe de Ihodes slatisllQJeslout en fafsantpleUle desptit cique dans Ie choix de ees demieres et fofs de llnlerpretation des rquotsultals oblenus Co module de competence generale sinsent dans la pretriere annee du programme dtudes 01 quotquotquotslitue un prealable pour Ienseignemenl des modules quotTechniques de programmatlon structuree et Irstallafion dun posts Inlormalique PRESENTATION Algtpliquer dn notions de base en mathematiques et statistiques en Infomllltique COMPETENCE OBJECTIF OPERA TlONNEL Code TRI3 Duree 60 heuquots MODULE 3 NOTIONS DE MATHEMATIQUESAPPLIQUEES A LINFORMATlQUE NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPUQUEESA LINFORMATIQUE I R6ume de fa theorie et Guide de travaux diriges

REFERENCES Un peste Infofmatiqua Equlpemtnt Noles de COUIS Tabteul MATERIEL El EQlJIPEMENT Materiel Travail affeclu a Iaide dune stationde travail at dun tsbleur des Manuals lfe reference techniues appropns Travaueffectua it partir de situalions propres au domaine de Iinfonnslique de ocnsignes du fonnaleuquot IndividueleltTlent EVALUATION ACTIVITES DAPPRENTISSAGE I - Representer des nombres sur lordinateJr et effectuer des orations arilhmiques et iogiques dans diftrents types de representation interne Oltgaoiseret traltl de linfoonation Rescuae des IWObIolmes de de probabilf81de stalStique PISodes exs de conc r epts theoriques surto tableau en ampmenantIe stlgiaire resoudre des probliilMs applqquotes en onnatique et analyser des siluafons conaellis Ensuilll des exenices seront proposes aux s1agairespour consolider les conceJIsus au COUIS Pour cIlaque Iment de competence des exeroicesporteonl sur des situations ooncrles Enfin les travaux reaJissit Iaide doutits informatiques tabr seront en Cenavec les notio quotquot0dan las autres modules SlRATEGIES DENSEIGNEMENl CONTEXTl DENS8GNEMENT AumdIorl t NOTIONS DE AYIlEMAT1QUS APPUQUEES A Guldd x driampK--- LIquotNquotFOquotRMATIQUE-- ---

I OPPTIDRiF faclolticlle et D6fuiioo des a-rangemen4s de r objels panni n jDe -mtioodes j dern - Codage dun nombre d6clmal en bin re naturet Codage dun nombre dOoimal et binaire en Grayet ice versa COOaged1Il nomblte d6cinaI en BC eiQ oeiWoo du code ASOI Oeflionde runile de mesurede finfolr1aOOoen infomatlque clliffre blnaire ou bit Definition dun mot binalre octet Calcul des multiples de Ioctet Ko Mo00 quotdans Ie ysme blnaire base 2 ELEMENTS DE COHTENU Defnifon de base dun systemequotde-nu-quot1fquot-raquottio-n-e--I rang dun chiffre Representation de nombros sou Ionquote polynottiaJe ian dUnnoobe dam Iatase bitIaie ocfale ou hexadoicm C R6soudredes problem d d6nombrement B Ellecquot des operations loglqu 4 Definir les d ifferenls codes bi naires bin01re naturel ASCII 3 Dtfinlr Funite de meSJre de IquotlI1fonnollOO et ses multiples 2 D6mr les sysleme trilaie odaI et herltadecimal 1 Definir un systeme ce numeration A Effectue des traitements sur des donnees Comelli un nombre en drMentsSYSeines de num6riques numeration Cocu des operations x dlrecement dans Ie systemquot binaire naturel finition de Iorganlsation de ta memoire mot memoire adresssge Differents ts de rampprtation de nombres sur Ic1ilaeIJt sigoo et grandeur par com pareasnoobes reels notion degtigule IoiIante Algebre de Bcole et les Inlis operatio1S Iogfques de base Negation NON Intersection lEi el union OU Lois fcndamenlales de Ialgebre de Boole Variables loglques et valeulS de quot00quot Fcnctions togiques tablas do verite t simplification des fonc50ns PRECISIONS ET PREALABLES COHTEXTE DENSElGNEldEHT I NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE umd Ja tMorie t Guid dOtrav1lWt dirig

NcEonde variables quaitati4es Ncfoo de variables qUltlr1tlta Refsentaion des variables qualitaies et qualita1ives Caculdes paamtresdo tendance Interpretation des paamtresde tendanee D Rhoudr des problm de probabili at d tatistique ldenj5er Ie type de variable slaUstiqut assocoo II un arIexle dltme 6 061quotlr Ia notion dvariable el 00 type de venable Slalistilue Delinlr la notion de probabiite Donnerles 61mentsdun espace chantionnal 5 Dfinir Ie conoe d probabilit Theorem du nombre 00 sous-ensembles dun ensemble de n objets distincts comme somrne des combfnaisons possibles l- I OJoPIIIURIF 71 ELEMENTS DE COHTEHU PRECISIONS ET PREAlABLES NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LlNFORMATIQUE 6umde is theoria at Guide de travaux dings

- On atuibue u BquotIuquotaguplta au 1 siecle Iiquotquotion du zero en fait dejAAIea latent dans les malhematiqucs indienneltde Ipoque Iiic alUS3edurlymedCciquotquotquot positionnel que lOccident adoptcmquotlnlDsmis pet Its ArabcslaL 1oquot de leurs invquotquotiltgtnsen AndaIousi OFPPTnJRll 1 81 CeSl de IInde qUI nons vienncnt lcs notations actuelles des nombres traosmises par lcs llrhbes et semble-t-il Ic ZIOn Ie mot francais chiffre est une deformation du mor arabe sfr designnnt zero Larithmetique est quotetude des nornbres entiers et des opCrations sur ces nombres La notion de nornbres entiers nOU est naturelle et leur ccriture usuelle 0 12 2006 noquot est familiere Cependant il n fallu des millenaires pour que so degagen ces concepts Lorigine des nomhres ent iers est Ioiniaine Pat exernple lcs bergers de 14nriquite utllisaient des cailloux lt cltCUUJ en latin pour faire rentrcr le soir auauu de moutons quils en avaient fait sortir Ie matln Cailloux duoe part et 01UtOns davire pan -quotlotmendtes collections dobjets-diffcrent ayampntautantdelTquotquotts Ainsi au iii du temps IIpanir de collections COllClttcsdobjcts pIIt1n1I mcrrc cataclae quantilatif sest dgt Ie concept de ocmbns eatiers EllIwtc progressivement US entiers son devenes des objets matOOnuliquesalIstraits independents des objets compte On n donne des noms aces nornbres A noter cependant UC1 par exemple lcs Aborigenes australicns n onl pas de nom de nombre SeSl pose aussl le problerne de Ja notation des entiers nature Is lis sent el nombre illimite comment lcs ccrirc tous avec un minimum de signcs appeles chirrre Ccst lc probleme de II numeration Viendront eussi Ies operations elementaiquotquot sur les ncmbres TOUlcfois WlCvtritable arithmttiquc Ihtoriquc arilJrJnos vut dire nombn eo grec ancien oU Ic nombres som cooces eommc des objets mahematiques ebstraits indipendants de leur repnsenution ectlct des objeeomptis fie s ooostituee que progressiaDC7lt ebez Jes Ollbyloniens 17quotquot sicclc JC puis dans la matMmaliquc crccque nombres figures moyenncs suites chez les pythagorlclens thcddu PUC nombrcs premiers et leur inl11ilUde partir de 500 ans Av Ie les marhematicicns arabes du moyen age ont repns et d6vcloppe presque tous Ies probJcmcarithmetiques des grecsi Oaprisquot Itnofii dcs Olquotit JiliolPqris Y7 l Apetu historique I Introduclion A Systemes de numeration NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A lINFORMATIQUquotE md JthOtlet Gulett de travw diriges

Le systemc phenicien Le SSleltle grec r1 OquotquotrquotPPTquotquotIORIF ----------------------0191 Oautres systelncs de numeration onl ctcs ulis6sjlldi vole du plus ancien au plus recent Rcmarquc Numorotatlon ffi OObyloniennt ltiT ltim m ltiT rr Numrocatlon usucllc I Pili cxcmolc POllr 1 uombrss St1rsi 52 lcrilUre e fult 1gt11 quotpaquetquot separ es pur un espace Ie premier paquct compte les WIilCS le second paquet compte le uombre de soixantaines Ie troisieme renombre de soixantaincs eu CM6 quot POUTchaqlue paquet Ie nombrc est cornpris entre 1e1 59 T I 10 Povr Iss Q2mjgte compti entre I ot 59 CCSIune eenllln additive qui nutilise que deux symbol un quotclcuquot pour Iunite er unchevronquot poor ta dlzainc b- Icrilure hnbylonienne I nombro correspondent est lasomme des rtAmbrltroprewnlCs par los symboles Cest une nummlion dtype additif PrjJlipc SrmI I n 1 I t I Orlquotquot ullealeIik 110rouleAU dltl1t rde4 eo icu pNlba bJe d7 uo WIOIl puniWlln de PirpII11 tll1i ncvrdc un IC3td geroluiIlE f bol quotquotquot cu cee quotquotquot IIquotquotquotquotquot wppOltlJlt soirAle ItJiJI lie ciel quotaltww quotquot mille dl mille CCCII miUe 00 miIlioo 2 Exemptc de sy de numeronon sud d Iamppagne Urlbmagupta eneoce mome 10 rqle des signes relative a I muhiplicaliOlllI SDIm-ltt NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A INFORMATIQUE

IOFPPTIDRIF La base csl Je oombre qui Crt A d6finir un s-stCmcde numtation La base du systcmc decimal quotI dix alcrs que eelle du SSIfme-ol est buil Quelquc soil la bill nwnCriquc employee elJe suit 13 relatioe suivante 2 Principe dunc base Ce mode de regrouperncnt ou chaque chiffre prcnd one valeur dirr6rcntcselon la place quil occupc sappelle SYS1lI1EDe NUUERATION DE POSITON TOllS les ystellle de numeration ne SOva1111 pas II en a de plus pratique el de moins praliques Lt chiffres qui indiqucnllc nombre de diffents groupementS obconus SODIp 105ODS a c6re del autresdans un ordre bien pt6cis Pour des raisons dconoJnie de noms - cl de symboles les systcmcs les plus efficeces son CCIquot qui reposent sur des REGROUPIMENTS en un certain nombrc dclcmenLltoujoursle me C nombre est oppel BASE de numfquoto UfhitiQII Un petit ebillIe precidant un plus xrand que lui est sousuail en priorilc ensuie tout chilfrc est aclditiooneau suivant BUd XXJV X XV 24 De leur donner un nom CCobstacles ont oblige Its diverses civilisations dautrefois a combiner les nombres ct les symbolcs pour designer d nombres superieurs Oassocjerquot cheque nombn- un symbol 0 I 2 ere ou Iinverse ce nlerun signquot unique pour represtquoter un nombre r n III 111111111 Sur le plan de 13 rcprlsenIQtoll des nombres on scstquot vile rendu compte de 8 difficult Le Sosteme hCbrcu Le systeme remain Lc systeme des mayes Le systemc des arabes de Bagdad I Des systerncs positionnels I Quest cc quun systeme de numeration 7 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPllQUEES A lNFORMATIQUE

I OF1lTI1YRU Uest aussi utilise en informatique code ASCm Dans cettc base on utilise 16 chitlrcs Q 1 2 456789 I B C D 3 ell le chiffreA represent 10unites ie chiffreB rcprcscnte 11 tuiles On appelleIe sstcnloctal base 8 le systemecomposedc S elements it savoiroJ 1-3 4 56eI1 c Le 8ystnleOctal Exemple 10111011 1x2 02 1lt2lx2 lx2 Ox2 1lt21lt2 Cest le systeme de numeration en-base deux ll ne comprend que res chlffres 0 etl et indiqoan Iabsence-ou Ia presence dune unite I ua rang b Le svstemebinire 3027 3xl Q Ox0 2xl 0 xto iYlLLerang occupe par tUI chiffre dans J3 representation dun nombre naturel est la place comptee a partir de la drone occupee pur ce chiflre duns la sene des puissances successives de 0 ECelJtpJe 8352 Ie chiffre 5 occupe le second rang Le mecanlsme de groupemeni veur dire que 10 unites d un rang sent toujours regroupees en une unite du rang superieur Lc mecanisme de position veut lui que ce soil ta place dun chlffre dans un nombre qui lui confere sa valeur On appellc lc systcme decimal base 10lc svsieroe compos de 10 16ments ilsavoir 0 2 3J 4 5 6 7 8 ct 9 Notre systeme de numeration en base lOrcpos stir deux mecenismes elementaires 3 Les systemcs positionnels quotpllt base 10 19861 x 10 9 x 10 - 8 x 10 6 x 1Qquot Ou bi ohiflre de la-base de raag i et ai puissance de la base a dexposant de rang i tn rbabia b5a5 b4iZltb3abla2bJaJboa -0 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE um6delatheorle et Guido ltitrayatJx dtiSJC

IOFPPTmRlf ta memc methode est suivie quelquc soil III base de destination il suffira de changer le denominatcur par Jindice de la base a savoir 8 pout la base octal ct 16 pour lbexadecimal Flnnlement le ltsultalest 37 M 1001012 Sens de lecture du esuttal quoton-tIiz en binaire Ie oombee decimal suhao 37 Le passage de 1 hI-Cdecimnle vers nimporte quelle base seffcctue par I division successive de nombrc par Ie numero de la base correspcndanre Le resultat se lit dans lc sens inverse de la division IV- Passage de la base d6cimala une base quclconque III- Lunitede Iinformation sesmultiples Llnconvcnicnt dune petite base CCSl un tres grand nombre de regroupcrnents ce qui slmpllfle Ie systemc mais aloordit lecriturc Par exernple 1110010110111 representc en base deux I ocmbre 73S 1Par centre une grande base te un grand nombre d symboles trente en quotquotltC trtnte La base dix I probablement emporte en raison dn nombec d doigts des deux mains I t1nnrque Dune maniere generaJe On apllIc unc base B tout ensemble compose de B 6lemnts partnt de OjUSltluuD-I e La baS2 B Uil1 d6rrlquotquot- --NOT-IOquotNS-OquotquotMATHE-MquotA 1IQUOlt A-ppL-Q-U E8 rESltCquotA---- Guld quot Ux drigO LINFORMATIQUE

IOFPPTm 131 Convcrtireo bcxadlcimalle oombre binaire suiant 10110011 3 Passage de la base binaire velS Ioctal Comme il y a un rapport de puissame entre Ja base binairc ct lbcxadecimal 16 2-tt il suflit de coder chaque nombrc octal sur lu bits pour passer en binaire Exnplt 1010011 51 S I Cooquotquotr1irltn 0CIaI1quot oombre bioairc SuiV8D1101001 Comme il y a lI1rapport de puissantc entre I base blnalre et loctal 8 - 1 il sufflt d coder chaquc nombrc octal Sur teoisbhs pour passer en binaire Fxtmpe 2 Passage de 18base binairc vers Ioctal Convmir en decimaJ le nomblte binai suivant 1001 rtmpfe La passage de le base binaire vers 13 base decimal se fajt en ccrivan to eombinaison de ncmbrc dans la bast equivaieme 1 Passage-de Ja base binaire vers le decimal J Passage ltIIn bot binatre vers nne base qoetcooque A2JtA 161quot16 1quot 16 10quot16 2quot 16 t ut 256011 1 159311 Couvcrtir en decimal le nombre bexudccimal suivant A21 ampltclIIpl le passage dune basse quelccnque vers I base decimate sc fait en ccrivantla combinaison de nombre dans I base equivalonle v Passage dune base quekonque vets la base decimale NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A lINFORMATIQUE R4umf ee Ja theorle et Quid de tJavaux O1ri86

I OFPPTIPIUF FintMDlrOOO 110 -IDO Calculer 11000 110 11000 11 110 100 0000 0000 00000 OOOOQ o 4 Ldivision 0010 10 L I IQO Calculer 1101 1001 1000 I II I 000 III III 101 Calculer III 101 2 n multiplication 100111 10011 10100 Calculer 10011 IOJOO Los openltions arithmetiques binllrtS se dltroUolIIl de I maniCquot qu lOme decimal VII Laritlunetique blnaire JlJIOOItJ IjJ e S3 16 B 1 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMA TIQUE Rampumde et Guide de tnWC 4ifiSamp

r OFPPTDRlF 11llesera tgale itltI 01001 II x rdoocN - 100111 100111 100 lJ lJ MANTISSE CAR-GTERSTlOUE Si dans une machine ItS infonnnlions soru representees en vlrltu1e fiottante eues se presentercnt de la maniere sulvnnrc Ietenne 100111 3ppclC MANTISSE IctCDDe100appeCARACTERISllQUE Ccuc dcrniere expression prfSClte lavantage de rcprescnter la grandeur par un nombrc infrjeura 1 multiplie par uno UiSlJ1Cede 2 Lexposant 4 est bien cntcndu representatif de 10position de 1avirgule Done-pour d151inirtotafemenr notre information 9750 D faudra dans COsysteme de representation dell rermcs N 100111X 2 NIOO11I x2 N 100111x 2 NlOOlll2 NO100tII x2 Nous savons quil est necessalre de stocker des donnees dans Jes machines Ainsi le nombre 9750 se irouvera memorise sou la forme snivanse 10011 I Toutcfois ceue expression binaire ue suffit pas a definir touuemeor notre donnee car il ny a aucune indication sur la valeur du poids binaire affeete nux diffcrcms bits dou In notion de virgule Eo uilisanr cent notion de virgule notre nombre peut stecruc de la maniere suivunte 2 Represeotation des ncmbrcs virgule Ilonante 100111 0 10 1 11 T tr 0 r IT 8quot 00 105quot OOJ1S961S Ccevertir en imaJ le nombre bloaiquot gtquotivan 1011101 Iquotcsnombres fractionncls sent codes de Ia nlrnemanlere que tes nornbres entiers en utilisant les puissances negatives de In bast I Codage avec virgule fixe VIII Les oombres frncliOMtls NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE

OlllTfUHIF Compl6men1 restreint de FOA8quot 1111 1001 011 Complement restreint de 100 In On tc ncrnme aussi clmplimtlll1l9 car I 00lt ulile esr 10Cette notion de complement rcstrcint sc rctrouve avec rimporte quelle base utiJisec ct plus particuljremcnt en binaire Soit Iinfonnation 45310 son formal cat de 3 car8lrelter la base utilise est 10 La valeur maximale que lon peut exprimer dans ce Iormar est 999 La difference qui existe entre cette valeur rnaximale eL453 sappelle te complement resrreint 99g - 453 -546 EMflples Ious allons dabord definir cc que1 Iecomplemer resueint Poor eela it raut tenir compte du 1Ormude fa oonnCe ct de fa base cbns laquellc ellc cs quotquotprim 2 Representation des nombres signes dans le code du complement restreinr signe nornore 1 IOOO It Ie nombre -32 I 0 1100030 I Slgoo nonllre Ainsl Ie lombre3 secrira dans lc ysteloe binalee cst uaturellerncnt ln premiere representation qui yicnt fl lesprir IIsuffh dnffecter uti bit pour le signe et dattribuer par convention In valeur 0 au signe Cl In valeur i au signe I Par leur valeur absolue et leur signe NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEESA LfNFORMATIQUE

I OFPlTIDRI V Calcul ltIll complement vrai de 8AI VaClImaximatesgt FFF Valeur nl8Ximole I ltgt 1 000 Complement vrai 547 DOD - 4S5 ltaJeul du complOmeDI vrai de 4530 Vleur madmale 999 Valeur maximale I - gt I 000 quotginoInfeft quotrai Ccmme pour le complement resireiot nous allons dcfinir Cquest le complemem quotrai dun nombre Lc complement vrai dun nombrc ltSla valeur quil aut ajouter ce nombrc pour ebtenir la valeur rnaximale quot I que lon peut cxprimer en tenant compte du format et de la bas utilises 3 Representation des nombres gnltsdans le cede du complement nU 001 fO signe CR de 25 El25 o I11Jl Ainsi I oombrc - 25 sera reprisentC de la suhante 100 II 0 pour complement restreim 011001 Certaines machines utilisent ce code pour la represcn18liCndes nombres signe s II est alors appele code du complement il 1 Si nous reprcnons Iexemple du binaire il nest meme pas necessaire dexecuter une operation de soustraction pour obtenir cc complemenr restreint on sapereoi quilsulfit de trnnsformer WUSlcs I en 0 ct vice versa pour loblUir FFFF FIlA6 CF57 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMA TIQUE IquotquotFt6um6 del thellrte er Guide ct travaux dirii

Lc nombre 42quot 1010102 tltriteri eemplcment vrai 010110 En utilisant Ia melhodc du complemont rcstiiini 1 o gt 0 on conserve le zero J -gt 1 premier 1 rencontre ecenser vd 0-gt 1 inversion des bus apltS le premier 1rencorare 1-gt0 o 1 I I 42 IOI010h gtlebi le plus droilc est un 0 Extnpl - NIl Attention si le bit Ie rlus n droitc cSIun I cest aussi Ie premier I rencontrc Restons en binaiIC base 2 appliquons UD outre melhode pour lraduire Wl oombrc en complimcnt a 2 Le complCmcnt vrni est egalemem appelC compUmenl a 2 On pari du bil de poids Ie plus faible bil de droite --gtsi cest un zero on rccopie 0 jusquau premier I renconue -gt5i cest Wquot1quot on garde ce premier 1 Ensuhe OJ inverse tous Ics bitnple premier I rcncontre I partir de ta droite I 111 1001 0110 compiemem restrelnl 1 Qiquotiquoti gt torr mentvtal 111txtlnplt en binare 999 453 -546 gt compemel1l restreln 1 quot3d7 comptolmerc rat On peut aussi obtenir lc complement vrai dua nombre en caleulant dabord son complement restraint ct en ajoutant ensuitc 1 1000 W r751116 NOTIONS DE MATHEMA TlQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE R6umde la boone et GllilSode travaux diriges 1

OFPlquotIlJRIF Iour Iacllitcr le travail des machines informstiques et pour des circuits cicctroniques sinlplifics on represente un nombre sisnen complement 0 I complement restreint ou en cosnpltnlClll a 2 comJllmen Inti cotD-plCncntrestrcint 1 La rcprCscnta1ion en cornpl6ment i 2 18 pirepandu -A pour 3vanlllgc de nc p qu seul zao I bit It plus ilgalK-he sera repnsenuuf du signe 0000-gt0 JOOO-gt-O Ce systeme intercssant par SMsimplicjt6 Q pour inconvenient de prquotSenteT deux zeros o I 10 signifte I JO gt 6 l l 1 0 signifJlt - 110 - 6 Lorsque ron veut represcntcr un nombre avec son signe nombrc sin la solution la plus simple consisie a rajouter un-bit sur 18 gauche de In valeur abscluc de ce nombre Par convention ce bit sera a 0 pour represeiuer un nombre positif 1 A 1 pour rcprc-scncr un nombre ncgalif Xw Enresumer pour IlarithlndtiqJc binairc Cornplenlentvraj comllcnquott restreint 1 59 quot 1eSe IOU IebitS t I on 3JOUe I sot or tompietnent llat -gt eOIOI Valeur je dpat 11011 Cacul complCmtnlreWent gt 000100 1 -gt1 premier I rencontre est eonseni 1 -gt0 inversion des bitS apres Ie premier I rencontre 0-gt1 I gt 0 1--gt0 1gt0 Lc nombre 59quot 1110 L Lh secri ell complement vrai 00010 I Ell utilisaut la methode du complement restreint I S 111011 -gt le bit Ie plus droit est Wl I U autr Xeltllile Saltur comp1mentvral gt 010110 4210 on IOUIe bits on 31urt 1 vur de detail 101010 Calcul omptemem trei1l gt 01101 1 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATlQUE RKum4 de la theorie at Guided travaux dingO

PTroRlF 2OI fPmp a b x la variable logique eSI une srandtur qui peet prendre 2 valeurs qui quotquotnl reperees babitueUement 0 ou J Cello quotariable binaire se note par WlC lenre eomme en cbre 2 Variable booleenne George Boole rnathematicieo logicicn cr un peu philosophe est n Ic 2 novembre 1815 a Lincoln dans lc Lincolnshire Ansletenel Cest le perc fondateur de I logiquc modeme Go 1854 il reussi 101 Leibniz avail echooe allier en un merne IMange mathcrnatiques et symbolisme Le but treduire des idees et des coDltCpen equations leur ppliqucr cenaines lois ct rtt18duire Ie resultat en termes loaiqquotquotquot Pour cela ilerie nne algebtc binaire nquotquotquotquotP1ant que ltleu valeurs numeriques 0 ot I Ialgebre booteenoe ou a1gebtc de BOOLE Otail Les travaux tbeoriques de Boele lRUerun des pptie3tions primordible dasls des domaiaes aUi divers que les systemcs infcrmatiqces les circuits electriques el telephoni-qucs1 lautomatisrne I George Hoole 13 Algebre de Boole er luiiqllquot eombinatoire 10000001 100 0 0 000 -quot - O1111111 o I 0 t 00 U 0 0 00 e ic c c e e e e f 1 1 1 n IS 8bs1 J-s cocMri 41 I--J 2 0 IS 3 26 quot1 0 - 27 28 - - - 21 quot quot21 t 26 - 21 26 0 - dt- 21 amp1quot -123 121 I t117 17 Xl- Representation des nombrcs signes Exemple sur un octet Le tableau suivant donne un npelItdes diflcrcntes representations pour un nombrc cornpris entre- 128 elquot 127 o pour un nombre positif 1 pour un oombre Ii NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE 1 m6dolathrleet Guide de travaux dlrig45

rlPTIIRI F b FOllction NON Xa Ftltc eanentque Ancienne svnl quotholisationSlnb olisution actuelle a X 0 0 1 l Table de erite Cette foncnon est obtcnue avec unc seule vartable U valeur de la function est toujours idcntiquc ilia valeurde Ia variable Noustecnvons X a 9 fonction om 3 Fonctions logiqucs de base Line fonctioll logique est le resultat de fa combinaison Jogique combinaeoire dune ou plusieurs variables logiques reliees entre elles par des operations mutllcmatiques BOOLEENNES bien definies I valeurrcsultantc de celt fOnCIOndeledd de Ia valeur des variables Iogiques mais de toute facon cette resUltante ne peut eire que 0 Oil I Une fonction logique possede done une ou des tariables logiqucs dentrce ct tine variable logique de sortie Cetie fonctlon logique se note par unc lcttrc comme en elgebre On trouvera parfois cettc notation du zero 0 pour 6vicrla confusion avec la lettrc O La variable binaitest aussi appelee variablebooleenne a Ietat H high I valeur 1 it Veta L loWlil valeur 0 Physiqucmcnt ccnc variable peut correspondre lun des dispositifs cites ci-dessus dont Ies 2 cUlts representem les 2 valeurs possibles que pcut prendre ceue variableDune facon gcncrnlequot ces 2erats sont repcrcs H ct L ct Onanribue NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPUQUEES A LINFORMATIQUE Res-ume deIa tteoria et Guide de travaux diriU6

OFPPTIDRIF b x Q 0 0 0 1 1 1 0 1 1 I 1 Table de vtrit Nous limns X igale Q ou b On obtient lo fonction OU BOCC un minimum de deux variables La Jonction X prcnd la aJeur 1 quand lune ou lauln ou les 2 vanables soot a J 10U ivon X - b quot addition ou lOOlllllogique Ou encore X Vbgt dsjonction a ou b ou les deuxj c ondion OU OR Xa Ferme eanenique Snlbolisation 8 X 0 1 1 0 Tabled vEri gtlous disons gu1emenque e est la valeur cornplementalre de a er x JJl valeur complemcntaire dequot Ceue fonction est aussi appelle Poncdon Inversion Fonction complemematlon La fonctionOgtl eslUt svee une seuJe variable La valeur de 10fonction esllOujows Ia valeur inverse CODpI6mntaire de eelle de Ia variable Nous lecrtvons X -aer nous liwru X igale a b6rre NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPUQUEESA LINFORMATIQUE Aum cJo I thforie et Quiett do WquotUX dirige9

1figtmoRIF a as a 0 aO n l u a 0 0 Proplietii prtjeuJicres b a X 0 0 0 0 1 0 0 0 t 1 1 IOUS liFOJIr X Ignlr Q ef h CctIC Coeetion t1 obtenue avec au moias deux variables lA fonction X pl1nd I valeur I quand lune et lautre vOltiabtesent a I Now lrivoruJ X a b -gtproduit loglque On encore X e a Ab gt conjonction a ct b d ruutlion IT quot-in XIlb Forme canonique Symbolisaricu a-L-I a 0 a-8 aa1 Proprietb partiwfiUts NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE umo II tneOI Guld d trvtux dlnges

I OFIPTIDRJF 1015 pourrons utiliser I methode du tableau dgt Kornaugh Dan 10 cas de dEUXvariables binaires nou OVOIs quatn poSsibilitis ox COlIoinaiSlOS a enyjsagct que noL tIllduisons sous Ia forme de Itttable de oCrite UivMte Nons avons 1 IUCIes regles de lalgebrc de Bccte permettent de simplifier les fonctions cene methode tt cependant relatlvcmcnt lourdc ci ne permet jamais de uVlji si lon aboutit t tine expression minimalc dc la Ionction ou pas 6 Table de Karnaugh Lc theorem d MORGAN scxpciJlquotpar les deux clalioM iib rb 5 Theorem de MORGAN d Allfrfglcsde Innliflcation Produitlogique X b lt e b Prodquotit logique X - b 0 a b a oj e Iitriblltivite Semme logique r X e a b quot a IIIc b 0 rquotoduit logique X b 00 b e a b Somme Iogique X a b I A Produit Igique X - a b b 4 RCquotes de simplification duae fonetlon logiquc Xab Forme canonique SyroboJisation NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORt1ATlQUE

IOFPPTIDRI Un tableau de Knrunugh nous renseigne donesur Its donnees suivsntes CItrois represemadons sont cquivalerites a a ltQ o a I 8 - b 0 I b b bl t I Un tableau de Karnaugh peut sc represemer scus les formes suivantes b Repramptntation dun 12b1nu de tAmllugh Dans chacune de ces cases sera inscrite la valeur de a fonetion pour In combineison de variables correspondent a cette casco En 8uivalll lexernple deja rcprcsentt ci-dessus nOU avons case l1tgt 2 gt combinaison de variables a 1 et b 0 gtvaleur de la Ionctlon O b 0 quotquotquotquota b O gta b bi gtab b I gta b La case lcorrespond 0 la combinaison a 0 L case 2 correspond Ala ccmbinaison a I La case 3 conespond AI COOlbiuaisoo a 0 La case 4 comspltgtnd 4 I oombinaisoo a I Nous disposons done de 4 cases correspondent lUX 4 combinaisons de variables 011 A chaqce combinalson des variables est ossoelamp une valeur de In fonetion Ldoc de KARNAUGH est dussocicr nne surface cheque combinaison des variables en adoptant la representation suivnme a b - 0 0 0 0 1 I --1 0 -- -I I I - 4 comblnaisOns NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPUQUEES A LNFORMATIQUE Reeumde ia th40ril 1 GuIde de ttavawt d

IOFiPTIRlt La case nquot 4 representera Ie quadruplet IOOOcu a I - 0 c 0 ct d 0 u b C d La case nO II reprcscntcra I quadruplet 1111 ou a I b I c I 01d 1 a b c d LII cusc nO 16 repre ntera Ie quadruple lOlO 0 I b Oc I et d 0 II b 0d Exemple A chaquc cast est associe un quadruplet des valcurs b C d d Tableau d Kamaugh a 4 variable - b e A cbaque ease est associ un triplel des 81quotquot b c Exemple La ltsse nquot 1 pntquotquot le lriplet OOOou O b 0 et C O Nou POUVOllSdire egalcmonl que I ease nj correspond au prodUIIa b c IJans ee cas la represemation devieot Co Tabl u de Karnaugh A3 ariables vanatJle JouerEtal I quot de J vaquotiabl 87 varialeb 1-quot7--1 valeuraelatcntliOn quot 1quotquot -- pour cette case Dans la case lies variables valent routes 0 Si Ion adopte la notation algebrlque booleenne pour les variables ell nous renscigne du nom CI de retat de I variable a i 1OlL notons que Llt nom de la fonction par ex X Llt nom des variables a b Lctat des variables 0 I ou une barr representant 1IIICI La valeur de In fonction Iou 0 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE Rumd9IthCofiet Gurd do travquotquot diri

a b c Z 0 0 0 1 0 0 I 0 0 1 0 0 0 L I 1 1 0 0 J t 0 1 0 I I 0 0 I I 1 0 OFlIquotlfIRl F 27 Suppowns que 1c1udedundispositifnousail conduit it la table de verilc suivante C Icriture dan Ie tableau d KAR1AUGH Nons vcnons de determiner les adjacences de la case n2 Lorsque nous passons delt a 3 seule I variable quotaquot change dtol2 et 3 sont adjliIlt torsque nous passons de 2 it I seule la variable quothquot change dt2 I sent adjacenres Lorsquc nous passons de 2 fa 6 seule Ja variable quotdquot change d6tat 2 et 6 sont adjacentes Lnfin lorsque nous passons dc 2 it 14scule ta variable quotcquot change delat 2 et 14 som adjnccntes Laquotquotquot2 ltOaa 0 b I cO dO Lacase3corr espondaalblcOd 0 I - i 2 3 Attcnhon a rorere 5 6 8 decnlUre 1 193 10 quot 12 quot quot 16 - Changeroent e d ----3 ChdlgerrMe c CI1allgementde d-rp OMS chaquc cas lordrc deerirure des etats des quotvariables nut qucntre deux cases voisincs en ligne IU en colonne une sculc variable change detat on dit de tcllcs cases quelles soot adjaccnles a c d 00 t 11 3 I I ab x b ES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE

I OFPPTIDRIF 28 Nous pouvons observer les faits suivants Dans In prntiqllc nous reoiplissonsunc seulc Igis les CUSC X d c 1 1 b 1 1 1 8 1 1 j j 1 I quoti Lc lcr tcrme eS1 -11quot11dans les cases 1615 et 16 en rouge Le Ume terme est vrai dans lcs cases nlt9 12 13 el 16 ell bleu Le 3tme ierme est quotraj dans 1ltascsnS en noir Le me tenne est vrai dans lcs cases 0lt1 2 3 4 13 14 1S 0116 ca vert Nou devons cerire un quotlquot dans roeres les cases qui erificnt cbaquc tcrmc de lequation X Xquotabc 11a Bbcd Ii son lLttanserirc Iequation logique suivante f Repfrage tic ZOntdan un ahlenu de KnrnRugh II es importanl de remarquer que Ia table de vampile 1trilUl1a1gcbrique dune fonction Ie lablu de Knmugh ne soot que des formes dxriquotquot dirrcrnldo mampne ph z b e cl Ions le tableau de Kamaugb nous meurons un quotI quot dons chacune des cases coreespondant au Icrmcsiiquot6ciibcetaoc Nons placerons un quot0quot dans res cases correspondant ux tlutre4itenncs za6c abc 86lt Cc que neus lraduirons pat lequation Le diJ05ilifZ doillonetionner si les 3 varinbles a bet c sont simultan6ncn1 a lllOI0 fouction ITgt b quotC OUsia -0b I c I simultmemenlfonaion IgtT-gt1r b c OU si - I b O c 0 simultanemcru fonction cf-gta 1C NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPlIQUEES A LINFORMATIQUE Oumdoath6ooot Guld do tlAvaUXdfllg

I OFtlOTURn 29 Danslcxemple2oous lisonsquc Y ltSt-galc ETbErEr d OU a ETbETCET d CIeousecrivonsY a b c d b c d C I a 1 b quot d Ya cd OMS lexemple J nons tlsons que Y est cgalc it a ET b ET c E1 d er 1l0U ccrivcns C I I b Y d Femll La lecture denc fonction dans un tableau d karnaugh cst lc plVblbmeinverse du paragraphe JlIoodentvoir Ecriturc dans un tableau de Karnaugh Nous ooovons lire successivcmcnt cbacuoe des cases fonction ET ct les lier par des fonctions QU g Lecture dunt oneton danun tabltsu de kantaueb quot c z abd b aed al - X d Quand un terme ne OOIIntnl qquotune variable iIocccpe une zone de 8 eases Quand un terme est un produit de 2 variables il occupc une lllB d quotquotquot Quand un terme est un produit de 3 variables iloccape une zone de 2 cases Quand un tcrme est quot1peoduit de 4 variable il occupe une zone dOI e quotquot NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE RHumt de la theoriamp at I Guide de ltavaux diriges

IOnIquotfIDRIF En evntinuaot uotre observation 1I0Upouvons remarquer cgalement que 11Ionction vaut quot11 dans deux autres cases ndjneentes ce qui nous aurait conduit 3 rexpresslon L lfinimisation dane fouttion dans uo CaIIfquot1due Karpugh Ya bcd cod abcd Notre expression est maintenant sous 13forme c I I t I I- b - a y d 3- Nous surions po lire direcltmcnt dam le lae3U de Kamaugh 2 Ces deux tcrmes correspondent 2 cases adjacent case 9 et 13 I nfait IlOUS pouvons simplifier ceuc expression en remnrquant ltI lit 10 b e d a be i a c d b b a C Ci Vabcd a bta e iicd 6cd quot r c 1 I I I b y Soil le tableau de 1 fonction Y suivante h Regrotlpement de tse daDs un tahlt1lD de Kamugh I um a I-tb6orioet Guldt cit trov1IX dirige NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A lINFORMA TIQUe

I OFPPTORI fquot I I I I a I I b y d Co lui donne Iexpression la plus simple que lon puisse obtenir Nous 3Qn- minimiser lequatlon de 10fonction Y En regroupant los CtiSOSUljAccllles par deux 011 supprirne uno variable des termes correspondents une manlpulation algcbriqucsimple monrre que POUI supprimerdeux variables il faut disposer de 4 cases odjacenlOSpour ell supprimer 3 ilIaut 8 CHSC adjaccnll ltIC a C d a b a bcd Ye a bc dquot bcdquot abc d i bed quot bcd abcoquot aiicdquot Scd - abcd Co qui COlTCSJgtOlld a la manipulalion alampbriqueSUi3IllC quot C I I I al I I b y d flilexprcssion la plus simple sera obtenuc en rcgroupant lescases comme indiquc Vl bcd aQcd -aba c I I I I C I I b y

I OFPPTIDRIF NOIIS lurOnS dOlic 2 e On lbticnt ci lexpression 13pJussimplc de F en transformaru le dcJa case 6 en quotl quotce qui net de roupcr lcs eases 56 7 8 01en trlJquotonrumllc Ode Ia ease 2 eo quot0quot c ij p 0 0 I 1 p 1 II arrive parfois quunc fonction lIoiiuJ6lernlinie poor certaines ccmbinaisons des variables pour differentes raisons In plus couranlc est que certaines combinelscns des variables etam impossiblcs on De juge pas utile de donner une taleur particuliere u la foncrlon pour cos eombinnisons 10-nan s les cases corrcspondantcs du tableau de Kerneugh on placcra un signe parteulicr lofSdu regroupcmcnt des cases nuutransformons le ten 0 ou en 1 suiant 13convenance suivant les simpJifK3tions qui peuvcm en douler k Ca41pamculier On lit cnfin Ia fonclion en ne COIISCr3Dl poor chajuc association que Its variables qui De hangenl pas d31 Unc zone de cases deflnira une variable Une zone de 4 cases dcfinira un produi Ill2 variables Une zone de 2 cases definira un produit de 3 variables Une zone lt11cases definir un proouit de 4 variables La methode de lecture des fonctions dans un tableau de Karnaugh consiste done it regrouper las cases adjacentes par 2n n clant le plus grand possible On essaie de rcgrouper toutes les cases de cette maniere tes chevnuchcmcnts de groepes elanl permis j Resume C t I II 1 b Y d I NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LjNFORMATIQUE Rtumf dO Ja tMorie et Quid de travaux dlrlges

I OFPITIIRIF COmnCI190IlSpar lUIcxcmplc simple I etablissons Ie code gray pOWlcs 4 premiers chiffres dccirnaux 0 3 Deux bits suffisent et les combinaisons en binuire DCI sent les suivantcs 4 Consruclton du code Gray Le code Gray est un code consuuit dc telle f qu4 parlir thilTre 0 chaque nomhre ctgtnSOeutifdilYeredu pricCdCDl immCdial dun I digil1n Iexprimant 3II1rement quotus pouyoquotquot Iquotment dire que fon change un seal bit Ia foi quand un nombre est augment dune unite De ph on opere de telle m31liereque le digit de transformation suit cun poids faible Si une erreur survient lors dune transformation dun nombre Aun QUireelle est ainsi nlinimiC 3 Cod binire reilecbi ou code CJTaY Ce code correspond au systeme-de numeration binaire ct Jttit rtrcrcnau code binaire naturel Tcaracteres sont des bits les mots sont formes par une association ou combinaison de bits CL avec 1 bits noes pouvons former au maximum 2quot mots 2 Code binaire pur Le cudquotg est loperation qui transforme une informtltiOD ecriture dkirral pisitioo aogulnire vitesse eo ecriture binaire dans un code de notre choix Un code eSt un est un langage compose de diflcrents symboles Oil mots Un mot cat un ensemble de caracteres numeriques OU llphan1mriqttes Le 1rancd8gea le passage dun code a lID autre I Definitions I octel byte en anglais 1 octet 1B 8 bits 1 Kilobit 1 Kb 1024 bits 1 Megabhs I Mb 1024 Kb 1024quotI0241gtits I Gigabit 1 Gb 1024 fb 1024quot1024 Kh - 10241024lt1024 bits Dune mnniregenerale les multiples du bit sont Iesprodquotil de I024 On cite Dans I cadre de I thgtrie de Iinformation proposee par Shamon 10Iue ron r1 linformation corrcspondant it un evenemenr 3ant 1 chance sur 2 de sc produire on le9oit un bit dintormation Par exemple lors du tir a pile ou face de lcngagemenr dun match de foollII quand larbitre indique que la picce est tombee sur pile il donne un bil d information nux 2 cupitnines des equipes en competition Unite de mesure en informatique gnanl Ia quantite elementalre dquotUlformarion par un ehiffre du syseme binaire 00 en doit linvemioni John W Tukey ella popul2risalion Claude Shannon C lUllitc de mesere de 11ntOmlationet ses JnuJriples NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE

IOFPPTDRH 1100OJ0101 1091 v IIOOGt1 010quot OOtO G R Avec hi puritc paire 1resultnt ctle sulvaru G R v lOllDill 101X10 OOOl 1011001 4 752 4 5 9 lin ecrh3lt ORA Yen ASCII nous obtenons ExemplI Avec lavenemeiu des machines de ualtemcm de linformation telcscripteur telex ordinateur Ie code ASCII American Standard Code for Jnformation Interchange C51 adople comme standard dans los annecs 60 Le code SCJl de base rcpresentait les caracteres sur 7 bits cest-a-dirc 128 efllctrs possibles de 0 a 127 Le huitiernc bit cSt un bit de paritc 6 Lc code ASCll Afm de pouvoir transmettre OU stocker IOUSles types de carseieres alphanumcriques ou auues des codes conventionnels ont ete ttablis Cheque est 3SSOlticASOl equivalent en code DumCriqUC If existe de nombnux codes el noes poovons titer pour moire Ie code ASCII 1F-BCDIe LLlCODEIVTF8 5 Les codes de caracreres o on commenceoi zo 1on inverSamp Ilnsoul bit te phsa drolte possiblo condvlSan 3 1121j a un nOllvtu nombro En code Gray pour passer dane ligne l I suivante on inverse un seul bit de tclle man quil soit Ie bit Ic plus II droite possible cooduisal i un noutau ecmbre Ce qui donne les combinaisons suivantes Nous rcmarquons quo pour alter du nombrc I it 2 nous chengcons les deux bits a I fois pour passer de Olta I0 o co iel nous aloos inquotelts la valeur de 2 bits b IJ rolts 3 I 1 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPUQUEES A LINFORMATIQUE tum6 de latheorleet GuldOde tnvauJt dlriges

OIgtPTlruF JS Eo mathematiqucs lorsque oous cboisissons k objels panni n objets disccrnables er que Iordre dans lcqeel les obiets scet selectierevel une rmponanec neus pouvons les Kproenter par un k-upieltdIIquotquottUdiliocis 2 Arrangementsde r objctsparmln nnn-I nlnIn La notion ltI lu facroriellc joule de routes lcs proprietes de In multiplication usuclle distributivitd commutativlte Eo plus 13 factorielle obciaux deux lois suivarues b lrllrit La definition de Ia factorielle Sousforme de produir rend naturclle ceue convention puisque O est unproduit vide cesr-a-dirc ffiluilIJement rcutre de 10multiplication Par COnYClltiI O I 111 21pl 2 2 31-lx2x36 10 12 3x4x5x6x7x8x9x 10-3628800 PtlT ecempl j n n IIi1 X 2 X 3 X X n-I X 11 el Solt lJ un cmier naturel Sa factorielte est formellcrnent deflnie par 1 Jlrlinitioll La aclorielle joue un rolo important en algbre combinatoire parce quil y a n rquotquotquot differenlCll de permuter n objetS Elle appantil dans de oornbRuses rxmulC en m8th6matiqucs eomme pat exemple Ia formele du bin6m ella ommle de Taylor En mathematiques ta factorielle dun entier naturel n notee nl cc qUt 51lit soit itfactoeielle de n soit Iactorielle n est Ie produi des nombres entiers stricternent positif8 inJriel1 ou egaux d n I IOa1ion factorieD 01prQprietOs E Ledenombremen t 1 NOTIONSDEMATHEMAnQUESAPPLIQUEESA LG quotu4n -L LINFORMAnQUE j

I OFIlTIDRIF rn -r I n OC 1 --I r r en -r Uncombinison de r obj s panni ilobjets diITtttnts CSIWl soes-eesemble DOn Qtdoltn de r objetSchoisis parmi les n obj ets 00 a la fcnnele o Iffinition a Combinnisonsde r obiets parmi n CMstruire un erraegemem revitt pleccr Ies ens aprb Its autrcs k Cbtsdisccrnabtes pris parmi n dans Ie cases nUlJllCrottl done unc permutation de n eJemcnls est WIn-arrangement de n elements La nolion darrnngemem generalise done cone de pennutation Rellartlquotf i Scient E et F cku ensembles fillis de oardiDaux respcctiCs n et k Lensemble I F E des applicaiollS injectiCSde F d Iiest fini et son cardina1 est 00-1 n-ki si kSn Cl o sinon Cc cardinal se note Jt se lit Ank On dit aussi quon a un arrangernem de k a n c lhr1I1e Scient E un ensemble fini de cardinal n et k un entier naturel Un k-arrangemcnt de E ou k 8JTMgernent sans petition de Eo 00 encore 8JTlIIgementsans quotpClition de n Cl6neots pris k k est un kuplel aI 02 Ilk dquotltmenlS de E Ioque aihjqqsoil ij 111lt1avec ij Un tel k-uplelI 03i appcle k-Iiste distinctc d6IemnlS de E h Autre definition Soient E WI clUC1llblelini de cardinal D et k un entier nature Un quotarrangement S3nS repetition d Eest une application injective de I 2 k dans E a Oefil1irion un exsmen cinq candidats tlrent lcs uns apres les autres un sujet dans uno ume -contenant del question outes difftrcnte Le premier tlftlge se fera sur un ensemble de 50 questions possibles A cheque tirage suivant la question ui vient detro tiree est enlevee de lume Ainst SiU on faiHit pesser 5 61eves le tirage se ferait sur 50 puis sur 49J Claiusi de suite jusququot 46 qui ropresnle Iensemble des questions Jeltquotquott es dans lUme pour le demier Drage Larrangement va consister 3 additionner ii chaqult modificatioo de cet quotquotsemble de depart la nouvelle probabilitc de piocber une question donnee La solution pour cet exemple est done un arrangemem de 5 k it 50 n oin remettait I question tiree de nouveau dans lurne quot cheque tirogcl U sagirait alors dlUJ1C combinaison NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPUQUEES A LINFORMATIQUE RjOme de IHoM et Guid eM quotUJIi cRrtge

IOFPPTIDRlF D3 Lc sous-cnscmble vide 0 de 1 sappelle quotevenement impossiblequot En effet si lors de lepreuve lissue ise prdsenle notlS nslOOjVlTS 00t done 16vcntment 0ntl done jartaislieu P2 Sit U un univers 4 un fnemcntnous disons que Iquotcvencmcnl A quotit lieuquot ou quotsc realisequot si lors du deroulement de lepreuve se preseote lissue i e U et que i e Auans le CQS contraire nons disons que A quotna pas lieuquot 01 Lunivers des evenements dit des quotobscrvablcsquot aussi U est lensemblc de toutcs lcs issues resultats possiblequot qui se presenrent au cours dune epreuve aleatoire deterrninee 1 Definitions 2 UNIVERS DES EVENEMENTS UIlC grande partiedu contenu de ce chapitre est ees pen Siitistaisantea notre gout Nous faisons cependaut tous les efforts possibles pour essayer de fairc digerer et presenter ceetc branchequi pose souveni problerne lOTSdes etudes scolairc de la meilleure maniere quoi soit mais nous rencontrons de grandes difficultes Effectivement nous aimerions nons passer dexemples ct dexerciees et de fairc que lc tout soit cependant parfaitement comprehensible et clair mais cela est diquot111cile ear il nous flttutrevoir toutc la manierc daborder cene branche des mathcmatiques Nous vous remercions done pour votre comprehensien si certaines choses ne sout a cejour pas claires Renlarglle La rnodelisation par Ie calcul des probabilitcs a alOISete inventee par AN Kolmogorov dans un livre paru ell 1933 Ceue modelisation est faue partir de lespace de probabiliies 0 A P que nous deflnirons de maniere simpliste un peuplus loin tt de rneniare beaucoup plus precise dans le chapitre traitant dans la th60rie de la mesure You section dalgebre ie calcul des probabilitcs soccupe des phenomenes aleatoircs dits plus esthetiquement quotprocessus stochastiquesquot cest-a-dire de phenomenes qui ne menenr pas toujours a Ia memc issueetqui peuvent Gs 6udleg1cenux nombres et it leurs consequences et apparitions NeannloulS meme si ces phenomenes ont des issues varices dependant au Jasardnons observons eependant une certaine r6gulaiile scalsuque Le jet dun de le tirage du Loto pourraient eire analyses par les lois dc la mecanique mais ce serair trop complique cl rnernc impossible car i faudrait parfaitement connattre les condiuoos initiates ce qui comrne vous POlVCleZ voir dans le chapitre de physique quantiquc ondulatoire est de route facon impossible J Introduction F La Iiobabililc NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFPRMATIQUE R6um de la th4orieet Guidampde traveux dingos

I OIPTIDRIF Ainsil probabilitc de IOUIvLest quotoombre posilif suquotquotieur ou qpl ern oiu infetieult 00 tgal It i 12 PtA 0 A I Pour tout eveoemcnt A Soit U un univers NOllS disons que nous definissons unc probbili Sur Ies tvnltmentde U i It tout cvcnmenA de Unou assccions un nombre IA appcl6 quotprobabilite it priori de JnenlentJquot ou quotprobabilite marginate de Aquot satisfHisant aux quatre axiomes iJivoots Auention La theorie des prob-bilil represente un cadre theorique dans lcquel DOOonlt peuvoir modeliscr Ie dom3in de Iincertain Comme dans lOute formalisation iI existe une part de Chmatisationde 10quotolil qui implique que Ies rltsuJ oblnus DC soronl 8lides que dans I reeaeeou cenerepron abstraitquot etsimplirce de I reaJiti restpas Irop Ioigncde eencdemi ere La probabiliw dun evenement sere en quclque sort Ie repondan de I notion defrequenc dun phenomene aleatoire en dautres termes a chaque Cenl1nCnt nous allons attacher un nombre reel appartcnanl u lintervalle 01 qui mesurera sa probabilite chance de raliSl1linLes proprieres des frcqucnccs que nous pouvons meure en evidence lors dclreUcsdiverses nous permeueni de fixer les axiomes des probabllites b AXIOMES tes deuxevcncmems peuveni trtSrealisablcs dans Ia menlo epreuve possibilite de voir un chat noir au moment ou on passe suus unc echelle par exemplc aous disons invcrscmem quil son des quotevenemen ts indPendanISquot now reviendrons plus en dllails dars reluct des quotiomcs des probabilil Slnon si Les deux c-Cnemn1Sne poUVtnt pIS Clrcs tamplisubles pendanl 13memc qreuve ltde lancer dquotquot diIlPiquemenl no disons quls som des quotcvtncmltnIS lncompetiblesquot Si deux cvcnemtmlS A eLJ O1ttels que os Soi A et Ii deux sous-cnsemblcs do U Nous savons que Icnemen A v B ltI A rlB som tous quotdeuxdes sous-ensemblcs de U done desevenements 04 Le sous-ensemble A de U Dppelle quott1 certainquot En tlTet si Ion de 1tpreJ-e luei se presenre nous quottODStoujours i eU car U est runjters des cencs lcveneontI a done toujours lieu NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPUQUEES A LINFORMA TIQUE Oumde 18tMofie et Guld dotrJux dtriges

I OFPPTIDRlF Remarque trention Il ne faut pas confOJldre indePendrultsquot et quotincompatiblesquot DeUX eencmcnts independents de probabilites nOD nulles DC sent jamais independants Si luh des deux se produit lautre ne peur pas se produirc Autrement dit sous forme plus general les cvcncments 4isltgtn ind6peldants Sf in probabilite de Jintcrsecuon est lc produit des probabilites La probabilite de linterscction Ietquot de deux cvcnemcnts Indcpendants est egale au produit de leursprobabilites lol de multiplication Nous porions alors de quotprobabilite comointoquot oil nODSPAJ PAB pA PIJ A4 Si A et IJ sonr independants ou mutueliement exclusifs nous avons quot B lt2 alors eet axiome est trcs important en statistiqucsl peA -1- PA Une consequence immediate nes axiomes 2 et A3 est 101relation-entre les probabilites dun eelll1J et de complementairc note A A di 1 quot al 11 d - di t d utrement It sous rorrne p us gener c 51 c est une SUIte evenements lSOln s eux a deux 4 e ne peuvent pas se produire en meme temps si t J alors La probabi lite dela reunion touquot de deux cvencmcnts incompatibles est egale la somrne de leurs probabilites Ioi daddition NQus pallOISalors d quotprobabilitc disjointe et 101notoos PAf PtA uB peA PB A3SiAnB 0 210s PU 1 A2 La ploabiliJe de Ievcnemenl cenain ou de lensemble des evenemcnts est 6gal 1

OFIITIDIUF 18A Que pouvons-nous deduirc sur In probbilite de lcvtnement 8 sechant que IevenltmentA est realisi Cetrc probubilite est nppelc quotprobabilite condltionnelle 011 quottechnique baysiennequot de D sachant 1 CIse note dans le cadre de lctudc des probabilites conditionoctles 3 PR08ABILITEs COKOrTIO1ELLIlS PA9 -r n-sn N Si de plus Ace B sont realises simultanemeot rfols OOllS avons pOUr probabilice eooJointt PA - CardA P 0 CrdB -N Net N N Soicnt deux vnenlents i1 ct D olis6 respectivemcnt n et m fois au COtamptfde epreuves NOllS avons done 1 11 PI 1 Pl - quot et que les probabilltlts du membre de droire som 100 hypothese ltXlIiprobablcs nous avons P viv vI PUI Mais puisque 11u I uvi 11 FI 11- 1 Sent appclds quotcvcnements elememaircsquot Lorsque ces iencmcnls oni mampnc prQbbiJize nous discos quils sont equiprobablcsquot Dans ce cas il cst ues facile de calceler leur probabilite En eifel ces evtnltngteolS quotquotquot par definition indtpendanls cum eux a ee uiveau de I1CI1e discours nou3ORS en CI1ude laxlome 3 des ptquotbobiJit6s Soit Llln univers comportant un uombre linl n dissees possibles NOTIONS DE MATHEMA naUES APPLIQUEES A LINFORMATJQUE

41 S l Soil nous rcmodclions notre robleme I OI1PPTDRlF oton ccttc nouvelle lei P A Comment Hrd6trrniferDeux solutions sont cnvisageables Supposons Que DOUS ayons deux des Imaginons Inaintenan1 que IlOUS ayons lance seulemenr Ie premier de quot00 voulons savoir quelle est la probabilil6 qccn lllJ1ant Ie second de I quotquotquotquotquote des deux chillies vaille 12 Ains I probbilit6 dobteoir 12 sachant Ia valeur du premier d6 est tot1lement differente de Ia probabilit6 dobtnit 12 en lan los deux des Contmtnt caleukr eeite oou-eIJe probabilit6 PrtnOn le problemc dans quotauue sens SUPPOSODS qquotquot Ie rtsultat du premjer de soir 6 Un argument cmpiriqquotquot do type quotregie de lrotsquot vltgtir quotquotIhmatiques finaneierrs IlOUSdiruit imaaination que Ia probabilitc que somme des chiffilt ds deux des vaille 8 ou 9 scm Ie double de I probabilitl que I somme des chifTnsille 7 Formalisons In demarche Apres Ie IMeer du premier dt DOllSOOquotSune nouvelle oi qui tient compte de Iinfonnation sllppl6ncntoire Rcvenons it des cuoiutralionsplus mathematiques II cst ctrltmemeot improbable que deux personncs aYM chacune une bombe prennen le menle avlou Qucllc est alors la meillcure lacon d6viter davoir une bombc dans son avion Roponsc il faut se munir dune bombe puisquc In probquotbillt quil y ail une deuxieme bomb saClllln1llu1il111u16ju une est extinlenleJlt faible 19 nolion de probabilitc coeditionnelle que noes ulloll inuoduirt est boaucoup coins Smplquot quelle ne parnlt priQri et les problemcs de conditionncmcDt sont on source inCpuisable derrcurs en tout genre A titre dillusrration nous pourr0fl3 mlittr la petite histoire suivante NOU voulons d6finir 1 probabilire dun evenemeut conditionncllcmen relativernent a un autre evenemcar Historiquement Ie premier mathm1liciera aveir utilise correctement la notion de probabilite conditionnelle fut Thomas Baycs 1702-1761 Aussi padons-eous SOIquotnt de Bayes ou de bayegtien des que des probabilites oonditionncllcs SOJ1 en jea fonnule de Baycs Slatistiqquotquot bayOsienne La dcoxiemc relation etant appelee la quotprobabilitc posterioriquot de A sachant B Elle esl posterieure au sens quelle depend directement de B Ie PAB-- 11 PBIA fl OU Dans notre cas nous aVQOS RmaNquot Cette probabilitc cst aussi appelte fonction de quotquotquotquotquotbJmc lt1lt I PBIA EI dBllS Ipratique NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LIHFORMATIQUE m dt I quotquotOrlquotot I QuIddt IIIvaux dltigi

IOFPPTDIUf Soh PA iT - PAI B PiT - PCBI APA La definition des probabilitcs conditlonnelles sutilise souvent sous In forme PAB -l-pAIB JUSsl peA vA IBJ e PA 10 P11 I B Uae Ioi de probabilite ronditionneUe est unc loi de probbilile En partieuliex s AAson disjoints incomJlltioles et realist panni lesexperenccs ou B Iestai Aiors Attention la notation PB I A eSI quelque peu dengcreuse lln effct B I A nest JlIS un Cv6rlenent ni IDC division lltrailfeurs Remarque 13 connaissance dutle information Sur uae eperiencc pcui medif Ii que nous IIOU faisons de la probabilite dun 6vnemenl Ainsi le ail de savoir que 8 est ICaJis r6duil lensemble des resultats possibles de U B A partir de la scules les evenlualitts d A IS ont une jrnportance Lprobabilite de A sachant B doit done etre proportionnelle a FA I l Le coefficient de proportionnalite 1118 assure que lappllcation qui a A associc peA OJ est bien uno probbilil pour laquclle 0est levenemcnt certain nterprllt1tiolt Lc nombre 8A sappelle quotprobabilite conditionnelle de B sachant Aquot et Soit mninrenrult II c A B est inclus dans Ie complcmcmaire deAl II est assez intuitif que P B I A - 0 Ceci nous mene aux definitions suivantes A partir de quotIrobbilile P initiale NOllSallons choisir 10deuxieme solution Soi Be A FA gfuCralisanl Iargumagtt quotregie de trois noes pressenions que PB A doil eire p-oJlttionneI plI conslMlde proponioMalilltdetnlnCc per 18normalisation PAf-I S2 SOil nous calculons P 4 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATlQUE Resumf cit N GuICfo eM nWUXdiriges

Se rut eo statistique dune variable pour hqlClle 1quot1 valeur mesurec sur chaque iadividu parfois quallflee de caregorle ou de modalite ne represente pas un quantitc On nc pcut alors pus calculcr un total poor un ensemble dinuividus Les variables qualitatives sopposent aux variablesquntitativcs rOFPPTIDRIF 431 I Notion de variableSquaiitatives G Resoudre des problernes de prolobiliet de statistique Ainsl pow resumer simplement si -et B sont deux evenements Ic theoremc de Bayes permct de determiner In probabilite deA sacham B si nous connaissons les pmbahilites de A de II 1de 11sachant A n faut savoir que lcs implieations de cc lheoremc sont ccpendant considerables dans- le quotidien dans la rnedecine dans lindustrieet dans Ie domaine du Data YliniAgiuformatique qui est la quotformule des probabilites totalesquot ou encore quottheorie des probabilites totalesquot Mais aUssipour 1001tnous 81S e LPAI8 Bil PA 2P1I 8 PA B pAB PAI BPB PAI BP8 Maintenant notons que nous avons aussi pelf IS peSt MPlI 009 18 Supposona une maladie comme la 11lelfl-l1gite La probabilitc de lavoi sera note PUj 0001 chiffre arbitrairepour lexemple et un sign de ccnc maladie comme Ie mal de tete qui sera notquot peS 0 I Supposons COMu J probabilite davoir mal a Ia tete si nous lt1005 une meningitc P5J oLc h 66r11dce Bayes donne alors la probabilite davoir up D1cningice si nous a vOnS mal fa te Exemple 181A pAIIfPR peA I quot IIIIig ot Gulddotvuxdfrlges NOTIONSOE MATHEMATIQUES APPUQUEES A lINFORMATIQUe

I OFIIYJlJIUF quotquotaquotcIIquot lI4quotfoIIIpJlboI 4alP quotquotpoMIIJJ j lt1111 gt quottn quotquot quotquotVquotquot oJquot IIIquotIIIlIUI tuquotx Xquotlh-JoO Dot iltiiampl UCf Poutltttitt11M-vtl1 liX Tuyaux d orgue On rcprescntc pour chaque modal itun baton dora Ia hauteur est proportionnetle Aleffectif ou kl frcqucncc correspondant SCCleJIScircutatres chaquc modalite est repr6serlee par lIDscctcur circolaire danglc proportionnel t teffecd fcorrespcndam Hisrogramrne des fquences une correspondence daire est etablic avec In olodalite Deux representation graphiqut sont adaptquotquot aux 1Iriabieqquotlitatives 10rejrltsentation en luyaux dorgue et celle en SttunJ circulaires 3 Representation des variables qualitatives et qualitetives Lcs quotHrhbJquentiratlves scpposcnt nux variables qualitatives pour lesqueles le calcul dun total assoclc a plusieors individus 1l partir de curs valeurs individuelles ne peut pas resultcr dune operauon mathenlotiquc COquot1reexemple de Is writbllt caaedUn ensemble logem-nts Cene variable esllIX5UIle par un nombre mais ce neStpas une quantite on ne peul pas oire un lotsla vee Iestlaglto plusieurs logements Par contreIa variable quotpiecesquot des logements C quantitative Excmple du poids dun ensemble diadividus Si plusieurs lndiidus montcnt sur une balance leur masse totalc estIs somme de leurs masses indiducles 1 ltIii e11statistiqne dunc variubte pour Iaquelle la valeur mcsuree sur chaque individu rcpreserue one quantite On peut alors calculer un total pour un ensemble dindividus 2 Notion de variables quantitatives On distlngue Ie cos partlculier dt variables ordinalquotquot qui sont des variables qualilativcs numriq Exemple de Iappreciation des clients pour un produit quonpout noeer -2 Ids mauvais a 2 excellent en passan par zero indiITent NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A lINFORMATIQUE Rume eM 13tMorie et Quid do tralJUXdiriges

IOFIIIIURff Los quartiles QJ Q2 Q3 divisenr lctlecufde Iquot sene statisrique preaJablcment ordonnee par ordre crQiSIJ1L en quatre partiequotaalcOn sapercoit que le deuxieme quartile ncst aulrc que Ie mediaac LA principe du calcul des premiers et troisieme quartiles est idendquc a cclui de lit mtdille Q1 est associ II25 et Q3 A15 Lcs quartiles 111 1 1gtxl -Xp --111 11 11 Leeart type note SX est quot quotcinc carree de la variance vx mx - m Ln eaJeuJ simpte mcntre que Lecart bpe Un parquotmetre de tendance centrale nc pcut pas etre un bon sum statistique La moyenne ne permct pas de distinguer une di5tributioll de notre ou tousles 6tlldioncsauraient 1020 dune distribution ou les etlldiants auraient PltUlnloiti Q2et 2020 dan ees deux cas la moyenne cLIn meme mais 13dispersion des note auteur de cette dernlere diffcrc dun cas a un autre b POramefrH df dilQfpion La mediane Me est J valeur permenani de separer I population en deux parties quotgales Pour 50 des individus la valeur de I variable superieur oil Meet pour SO elle est en dessous de Me La nlediane n n r Xl Y quot 11 n Ene se calcule comme sui La mOlfone a Iaralnetre de 1ntljtott telirale Il 5agit de lrouver des valeurs pcrmeuant de synthetiser lInfbrmation contenuc dens une serie Ulisliquequantitative 4 Calcul des parametres de 4ndancc NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPUQUEES A LINFORMATIQUE um de I theoric et Guide de tnvaux dirigM

IOFPPTIDRIF xl-mXlr-mrx -mXlXr -mI -mXquot -mnl lVXn quot y n O CovXY estIa covariance de X et Y et obrienl eomme suit lXY COVXY SXSY IIquantifle la correlation lineire On Ie note gelleralcmcnt rXY ou plus simplenent r Ce coefficient est egale a Le coefficient dr corrlltion NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE m6d la theort et Guide de trlvaux cling

LIOFPPTIDruF GUIDE DES TRAV AUX DIRlGES NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMAnQUE

IOFPPTIDRlF -----------------------4lt18 15Effectner 82C59D8 b 83A7F4 B5863 c 4C 3E -e- 2 5D8 l6- Calculerjcs complements I6 de a 74B90 46537 - 31613 1- Representor 21536-diUlSlc systeme decimal Solution 501 2 Convertir 0 31231dans le systeme decimal Solution 0 85546875 3- Convertirle decimal 6i6 4375 dans Ie systeme a base 4 Sohlion 21302 13 4- Convertir le decimal 1476 dans Je system octal Solulion 2704 5- Convertir loctal 25146 dans le systeme decimal Sotlion 10854 6- Convertir eli binaire les nombres a 43027 b 21673 Solution a 100011000010111 b 010001110111011 7- Convertir enoctal a IllOlO10iJO b 100110101100001 - Effcctuerles additions suivantes en octal 6254 36517 4176 64753 Solutions 12452 123472 517203 9 Eyaluer les complements tt 8 des nombres suivants en octal e 40613 b 716520 c 335500 Solutions 37165 061260 442300 10Effectuer CH1CWle des sousuacnons suivantes en octal a 6214-3527 b 4617263-1423736 Solutioquotquot 2465 3173324 I IConverrir eo quotoxadocirnalle decimal X is 321 12Transformer 1hexadecimal 1174 en sa forme decimale f3Convenir- en binaire tes hexadecimaux a 3D59 b 273C 14-Convcrtir en hexadecimal les binaires 10110100101110 b 111001011011011 T VAUXDIRIGES NOTIONS DE MATHEMATIUES APPLIQUEES A LINFORMATfQUE

OFpPTIDRIF - J Ciler 2 exemples dappareils fonctionnant principaJement de rnaruere analogique Repcmsesquot Thennomelre au mercure compleur de vitesse a aiguille montre I 1 eiquillei I 2 Citer 2 exemples dapparens fonctonnantpnnclpatement de rnaniere numerique Reoonses quot Ordinaleur calculatrice gt Quels seraient les symboles dun systerne numerique en base 14 Ret onsets quot 01234567BgABCD 4 Quels seraient les symboles dun systemenumerique en base 12 Reonses 01234567B9AB 5 Montrer Iaide dune fleche Ie MSB du mot binaire suivant 10111001 Reonses 10111001 6 Montrer it Iaide duneneche Ie LSB du mot binaire suivan 1011101 Re onses1011101 7 Que signifie LSB Rdpondrc en anglais ct en francais Reponsets quot Least Significanl Bil te bil de paids 19plus faible 8 Que signifie MSB Ropondre en anglais cten francais Reoonsil quot M9LjpliiSlnt fteflit 92Y9idsIe eE2rt 9 ICl111pliler ta phrase suivante s iLa representation numeriquc dunc grandeur cvolue de 1090n N alors que la representation analoqique quotvolue de facon b SCOPS c ZiI7600 17Effectuer a 14B64 - 42AF b 9C4DSI9-23C042 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPUQUEES A LINFORMATIQUE Resvm4de ta thsofic ct Guido do travuxdlrigcs

I OFPPTDRIF I IConvortir Ie binaire suigtlIIlIen dCcimal 101111 gt ReOmtB 1175 2 Converur Ilt binaire suivaot en decimal 1101012 gt quot I IReQonsQJ 1325 3 Converttr le binaire suivant en dccinlilT 1101012 gt I Convertir le decimal suivant cn binaire 10625 gt R6 onses 10101012 2 Convertir te decimal suivant en binairc 23125 gt ReJonses 101110012 3 Convcnirlc decimal sui1IDlcn binain 1925 -gt RIonse 1001101 4 CQlvt1tirIecicnal suivanr en binaire 9Squot -gt R6ponses 10011 5 ICQllVerlir Ie decimal suivant en hinaire 1275 gt R6onsQ 1100 112 6 Convertir le decimal suivan en binaire 17375 gt Reponses 100010112 Conversion decimalgt binaire 1 R4JlOne5 discontinue continue 10 Complil I phrau suivent La rtpcgtauation omaJogiqoe dune g131ldeuriwlquotquot d alors que la representation numeriqee 01quotlt de Calton R6Donses continue discontinue Reum4dl thton I NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A Guidodo IOv x dlgeJ LIINFORMATIQUE

I OFlPIIDRIF 2 Convenirlhcxad6imalsuivanttndecimal Rflponses 1550 l IConvcrtir Ihcxadecirnul suivant en decimal -c 1 Convcrtir le u6cimal suivmu en hexadecimal 135 gt R6ponses D 8 Z Convcrtirle d6cirnal suivnnt en hexadecimal 1425 gt Reponses E4r 3 Convertir kdecimal suivant to bexadCltimal I J 125 gt R6ponses 1F4 4 Convertir It IltCinlntsuivant en hexadecimal 13510 gt Reonses D 8 S Convertir Ie decimal suivaol en hexadecitnal 9025 gt Re onses 5A G Convcrtir lc dkirnal sulvant en hexadecimal 92Squot gt Rfllonses 5C8 R onses 1325 4 Con-ertir le blnaire suan en dampimaJ 1011llz quot quotypquotonses 117510 S Convcnirle binalresuivanten decimal 10101111 gt ReJ onses 4375quot 6 Convcrtir le binaire suivant ell d6imal 11I01001z gt R6eonsesl 5825 NOTJONSDE MATHEMATIQUESAPPLIQUEESA LINFORMATJQUE um en quot quoteoquot 1 Guido de travaux diriges

IOFPlyrUIUF J-S21 DOM la table de verite de 1 b- 06duirelexpressionalgebriqucdc F c Dresser 11Ib1e de kamaugh ltI donner Iepression simpli1i de F d Trseer lc Iogi1JllllUl1cde F aprts simplification c- Cenc fonctioo peut elle servit pour detect Iquot errltun de uansrnission exlliquez SOiL r une fonction logique decrite comme suit FIlbC 0 si ilombce des 0 est plus grand que celui des J Fubc J dans le cas comrai re Exgrsic 2 uglilf fgtlnbinfliQire l Ilgehrc de Bok B montrez la methode utilisec exhausti vemers a- Coovenr 102 en Binairc Octal et HcudCcimal b- Coot1it 1100111011 on Decimal Ocla et IIcximl c- Convertir 115 eo Binaire Decimal et Hexadimal d Convertir fOEoampCIlBinaire Decimal et Octal Flercice llSvsteme de nfme-ration conversion I Rquotume d II Ih IIt1 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A Guide do trtvaux dingos LINFORMA TIQUE 1941e gt I Re onse 25250 I 3 Con rtir lhelUldeltimal sui3JI1en dCcilml 1861- I Re onses 27375 I 4 Convertir lhexadecimal suivant cn decimal DC 00gt R6 onses 1375 5 Convertir lhexadecimal suivant en decimal AA RponoIL 11225 I

8- Donner la table de vrjt6 des sorties a b c d e f g en fbnction des entrees EOEl 1l283 - b- DrIa able de KquotuJh qui coa-espond cbaque sonic ddonner son expression sirllplilillt- ro gigrammc de quotquotquo sortie b c de f s I Yrquot quotquotDUGl SCIlllRdu decode-ur 7 scgment1 Nous soubaonsdoDC rialiser un systbne qui permet te 51110du code igtioaire4 bit au cede 1 segments Plus piment lafficbagc de lous Iquotquot chifflea dimallX de 0 a 9Dans notre systeme it y a de combin3isollltlqui sent indsrahles r II 12 13 14 15 Cos quotIaIS sappcllent des IWJde fonctionoemeot dans les tobleaux de Karnaugh on Ies materialise par un X Objlquottif - --II-I- I I I I I II I-I II 11I I - - r1---I 1 I PrEmhul On appelle decodeur 7 segments te sysreme pcrmettant de passer du mot deotree code binaire 4 bits au mol de sortie oode 7 segments duns noire cas laflichage se fer d I 9 Linterprctation visuelle de laffiehoge du chiffre est formquot par lallumage des segments dun afficheur Scient EOEI E2 E3 los variables dquotquottn1cs du clavier Soien b c d e I g les variables de sorties correspoodant aux 7 quotquotaments SI Ia variable est aainivcau baul Ie seltIInlest aUuIes eDIS SOIltriJaltis de la manaquot suivanlc DEVOIR NON SURVEILLE Decodeu7 segments NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE Rum de la theorle et Guido d traYquotquot dlrlges

54 2- Aontrer lesreleticos suiantes 21 Aii A GB A ell 22 t OC- iB AC IOFPPTlR1F 1- dessiner les logigrammes des fonctions uioanes en utilisanl des portes ndeux entrees 11 F AnC AquotB JC 12o ABCD A eBCltIlAD H1ICICf I ALBIlE DE BOOLE 22 lrouvcr Ivaleur de x v6rifianll ququottion SUiVMIC 10 I 5 10010101 101001 0 1I0111-IClOl gt lOOlxll1 0 101010dhisepar 110 21- Effectucr les operations suivnntes en binaire ElIEllCItE 1 13 Codifier sur 8 bits les nombres suivants 1quot 1280 127quot 12 12Sh 28408quot 12 Convcrtir ell binaire base 2 65 CAFe 255 11 Con ve1tir en base IDles nombr es suivaats 11011012 15678 II10016 101011012 ElIFRCltE I symMES DE NUMERATIONI Niveau rs Filire TSRt Dura 4heures Examen de Fin de Module Annee 20052006 Office de 19 Formation Prcfesslonnelle er de la Promotion du TravaU Direction Regionale OFPPT Rum d Guidede travux dttges

IOFPlTlDRlF 1- Donoez Ia table de Cerite de F or exprimer F en fonctionJeA B C et P 2- Simplificz la lone lion f 3- Donnez Ie logtgramme de F D sv Jr--c --- fXfBfCE 2 Considerons le schema logiqucsui vants comportunt Donner les expressions FlK12x F3x F4x x Fl F2 F F4 0 0 0 1 1 1 lt I 0 1 3Soit la table de verite suivanee avec 1 comme entree et FI F2 F3 ot F4 comme sorties 23- AB ACAB AC BC NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LINFORMATIQUE R6Umde la tMol1eet GuIde detrnvaux diriges