complexes exercices

httparabmathsiftfr Moustaouli Mohamed 1 الأعداد العقدية تمرين9 ليكن -1 0 2 1 5 z نضع 4 0 0 و z z 2 3 0 0 z z 1 0 أن بين -أ ب- استنتج أن و حلي المعادلة 2 x x 1 0 2 2- أ- حدد بدلالة cos 5 المعادلة حل -ب 2 واستنتج x x 1 0 2 cos 5 النقط أنشئ -ج 0 و A 1 A z 1 0 و 2 A z 2 0 و 3 A z 3 0 و 4 A z 4 0 طبيعة حدد و AAA AA 01234 تمرين10 المستوى العقدي P منسوب إلى معلم متعامد ممنظم Oi j JG JJG التوالي على ألحاقها التي B A I النقط نعتبر هي 22 12 1 i i لتكن C الدائرة التي أحد أقطارها هو AB B A I النقط أنشئ 1 2 حدد z لحق النقطة مرآز الدائرة C احسب شعاع الدائرة C 3 3 9 لتكن D النقطة ذات اللحق 4 2 D i i z حدد الشكل الجبري للعدد zD ثم بين أن النقطة D تنتمي للدائرة C z التي تنتمي للدائرة 3 E لتكن E النقطة ذات اللحق C و التي تحقق 2 4 I E JJJG JJJJG 4 1 أ حدد معيار و عمدة العدد 2 E z 52 2 52 ب استنتج أن 4 4 Ez i تمرين11 نضع 5 3iz v 2 iz لكل z من 2i و لتكن النقطة M z صورة z في المستوى العقدي z 2i v z i أن بين 1 2استنتج مجموعة النقط M z بحيث يكون v تمرين 1 1- حدد الشكل الجبري لكل من الأعداد العقدية 2 2 32 1 1 2 2 1 32 i i i ii i i أحسب -2 2 واستنتج 1 i 230 1 i 3- أحسب 521 k k k i تمرين 2 في المستوى العقدي نعتبر النقط A1 و Bz و C iz حيث z x iy نضع -1 2 z 1 و i z و x y 1 حدد الشكل الجبري للعددين 1 z iz و 1 i z i iz 2- حدد E مجموعة النقطB حيث AوB وC نقط مستقيمية حيث B النقط مجموعة حدد -3 1 i z i iz عدد تخيلي صرف تمرين 3 حل في المعادلات التالية 2 1 iz z 1 2 15 iz z i و و zz z i 4 3 و 2 2 2 3 z z تمرين 4 في المستوى العقدي حدد مجموعة النقط Mz في آل حالة من الحالتين التاليتين z2 z2i -2 z1i 3 -1 تمرين 5 أآتب على الشكل المثلثي الأعداد عقدية 3 3 i و 1 1 3 i i 24 و 1 3 i تمرين 6 ui v i 22 6 2 العقدين العددين نعتبر 1- احسب معيار وعمدة آل من u و v 2 v- حدد الكتابة الجبرية والكتابة المثلثية ل ثم استنتج u 7 7 cos sin 12 12 تمرين 7 u i 2 2 نضع 1- أحسب معيار و عمدة u جبريا حل -2 2 استنتج و z u 3 3 cos sin 8 8 تمرين 8 z1i 3 العقدي العدد نعتبر بين أن النقط A z و Bz و 2 و C z 2 D z متداورة

httparabmathsiftfr Moustaouli Mohamed 2 تمرين12 ليكن 2 x أحسب cos n n k S xk و sin n n k C xk حساب يمكن C iS n n تمرين13 اختصر الكتابة 1 1 cos 2 3 n n k k k C تمرين14 ليكن 2 2 نعتبر المعادلة E 3 3 z iz i iz i 1 1 tan 1 1 tan ليكن -1 0 E للمعلدلة حل z أن بين -أ 0 0 1 1 iz iz ب- استنتج أن z0 عدد حقيقي أحسب -أ -2 1 tan 1 tan i i بدلالة i e ت- نضع z tan حيث 2 2 حلول استنتج المعادلة E تمرين 15 نعتبر في المعادلة 2 حيث Ez z 2 1 cos 2 1 cos 0 1- حل المعادلة E 2-أحسب معيار و عمدة جدري المعادلة E ناقش حسب قيم تمرين16 zz i u لكل عدد عقدي مخالف ل i نضع z i z i u z zi arg arg 2arg 2 أن اثبت -1 و أن u z u i فان 1 z آان إذا بين -2 3- حدد مجموعة النقط Mz حيث u تخيلي صرف تمرين17 E المعادلة في حل 1 2 z z 1 0 F المعادلة في نعتبر 2 2 z z أ- بين أنه إذا آان z حلا للمعادلة F فإنz 0 أو z1 z 1 أو 3 z 0 ب- بين أن المعادلة F تكافئ المعادلة 3 حل المعادلة F في 6 3 z z 1 1 10 تمرين18 1- حل في مجموعة الأعداد العقدية المعادلة 2 z z 8 17 0 2- نعتبر في مجموعة الأعداد العقدية الحدودية 3 2 Pz z iz iz i 8 17 8 17 a بين أن الحدودية P z تقبل حلا تخيليا صرفا وحيدا b حدد الأعداد الحقيقية cba حيث 2 P z z az bz c i c حل في المعادلة P z تمرين 19 المعادلة في حل 1 2 E z 2z 4 0 2 اآتب حلي المعادلة Eعلى الشكل المثلثي 3 نعتبر في المستوى العقدي النقط A و B و C التي ألحاقها هي التوالي على A و z 1i3 B و z 2 C z 1i3 C A أ بين أن B A i 3 z z e z z ب استنتج طبيعة المثلث ABC تمرين20 الحدودية في نعتبر 3 2 P z z 3 i z 6 2i z 4 4i المعادلة في حل 1 2 z 2z 4 0 أن بين 2 0 Pz 0 للمعادلة حل z 1i أن من تحقق أ 3 2 P z z 1 i z 2z 4 ب استنتج الحلين الآخرين z1 و z2 للمعادلة Pz 0 ل الأسي الترميز حدد ج 0 و z 1 و z 2 Im 1 z gt 0 حيث z 4 في المستوى العقدي المنسوب إلى مممم Ou v G G z 2 z و z 1 و 0 نعتبر النقط A و B و C التي ألحاقها هي على التوالي بين أن النقط A و B و C مستقيمية 5 6 نعتبر الدوران R الذي مرآزه Oو زاويته M z لتكن نقطة من المستوى M O و النقطة M z صورتها بالدوران R z 1 أ بين أن z و z arg 2 z 6 ب استنتج أن i 6 z e z الكتابة العقدية ل R ج حدد لحق آل من A و B صورتي A و B بالدوران R تمرين21 أن بين -1 2 1 2 cos 2 i i e e -2 2 k العدد tan بدلالة أحسب 2 2 1 1 i i e z e تمرين22 بين أن 3579 22 11 11 11 11 11 2sin 22 i ii i i i ie ee e e e استنتج 3 5 7 91 cos cos cos cos cos 11 11 11 11 11 2

httparabmathsiftfr Moustaouli Mohamed 3 تمرين 23 المعادلة C في حل 1 2 z 2 3z 4 0 2نعتبر في مجموعة الأعداد العقدية C الحدودية 3 2 P z z 2 3 i z 4 1 3i z 8i أ احسب P 2i ب- حدد العددين b و c بحيث 2 P z z 2i z bz c ج- حل في C المعادلة Pz 0 3في المستوى العقدي المنسوب إلى ممم ou v G G نعتبر النقط A و B و و C التي ألحاقها على التوالي هي A z 2i C و z 3i B و z 3i 3 ليكن R الدوران الذي مرآزه O و زاويته B أ اآتب على الشكل المثلثي A z z و C B z z ب بين أن الكتابة العقدية للدوران R هي i 3 z e z ت بين أن RA B و RB C ج بين أن الرباعي OABC معين تمرين24 في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد O uv ممنظم G G E و D و C و B و A النقط نعتبر 1 هي التوالي على ألحقاها اللتي A z i B 3 و z i 3 و C zE 4 و zD 2 و z نعتبر التطبيق f الذي يربط آل نقطة M لحقها zبالنقطة بحيث z الحق ذات M z iz 1 1 1 حدد A و B صورتي النقطتين A و B بالتطبيق f على التوالي 2 أ بين أن OMEM متوازي الأضلاع إذا و فقط إذا آان 2 z z 3 30 ب حل في المجموعة المعادلة 2 z z 3 30 3 أ عبر عن z 4 بدلالة z 2 ب استنتج أن 2 بدلالة arg 4 z عبر ثم z z 4 2 arg 2 z ج بين أنه إذا آانت النقطة M تنتمي إلى الدائرة التي مرآزها D و شعاعها 2 فإن النقطة M صورة النقطة بالتطبيق f تنتمي إلى دائرة ينبغي تحديد مرآزها و شعاعها تمرين25 نعتبر 2 2 t التالية E المعادلة و 22 2 E cos 4 cos 5 cos 0 z z tzt t 1- حل المعادلة E 2- المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم Ouv مباشر G G هما صورتا حلي المعادلة E في المستوى M2 و M1 العقدي عندما يتغير M2 t و M1 حدد مجموعة النقط في 2 2 Ouv المعلم في أنشئها و G G تمرين26 في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم نعتبر النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي Ouv G G z i z iz i CB A 4 4 هي 1 مثل النقط A و B و C 2 لتكن النقطة ذات اللحق 2 نسمي S صورة النقطة A 2 بالدوران الذي مرآزه وزاويته حدد لحق النقطة S 1بين أن النقط B و A و S و C تنتمي إلى نفس دائرة ينبغي تحديد مرآزها و شعاعها أرسم تمرين27 في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم نعتبر النقطتين A و B اللتين لحقاهما على O uv G G 2 هما التوالي B A z zi صورة النقطة B بالتحاآي الذي I B1- حدد لحق النقطة مرآزه A و نسبته 2 B1 بالدوران الذي 1 حدد لحق النقطة B B صورة النقطة 4 مرآزه A و زاويته 2 مثل النقط A و B و B II - نعتبر التطبيق f الذي يربط آل نقطة M لحقها z iz 1 1 بحيث z الحق ذات M بالنقطةz 1 حدد A و B صورتي النقطتين A و B بالتطبيق f على التوالي 2 z z i أ بين أنه i z لكل z مخالف للعدد i ب بين أن 2 2 MM MA MA MM JJJG JJJJJJG لكل نقطة M مخالفة للنقط A ج استنتج طريقة لإنشاء النقطة M انطلاقا من النقطة M M A حيث 3 حدد مجموعة النقط M ذات اللحق z بحيث z 2 2 4 أ بين أن عدد لكل z iz 3 2i 1 2 عقدي z ب استنتج أنه إذا آانت النقطة M تنتمي إلى فإن النقطة M تنتمي إلى دائرة ينبغي تحديد مرآزها و شعاعها

httparabmathsiftfr Moustaouli Mohamed 4 تمرين28 في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم O uv G G النقط نعتبر a 7 i 3 اللحق ذات A النقطة b 5 3i 3 اللحق ذات B النقطة النقطة Q منتصف القطعة OB 1 أ ليكن R الدوران الذي مرآزه Oوزاويته 3 حدد الكتابة العقدية للدوران R ب بين أن R A B ثم استنتج طبيعة أن المثلث OAB 2 حدد q لحق النقطة Q 3 حدد k لحق النقطة K بحيث يكون ABQK متوازي الأضلاع 4 k بين أن تخيلي صرف ما ذا نستنتج بالنسبة k a للمثلث OKA 5 3 لتكن C النقطة ذات اللحق 2a c k c أ أحسب k b ب ما ذا نستنتج بالنسبة للنقط B و C و K تمرين 29 المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر Ouv G G نقطتين B1 3 i و A i 2 3 لتكن نضع z i 2 3 حيث M z نعتبر 1 3 2 3 z i z z i 1 MA MB JJJG JJJG- أ- حدد علاقة بين عمدة z و الزاوية الموجهة n ب- حدد و أنشئ المجموعتين 1 2 arg 2 2 2 E Mz z E Mz z E2 و 2 E1- حدد لحق النقطة المشترآة K للمجموعتين تمرين30 1 حل في مجموعة الأعداد العقدية آل من المعادلتين التاليتين أ 4 أن ملاحظة يمكن z 1 4 22 z zz 1 1 1 ب 4 1 z i z i 2 ليكن n عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم و ليكن A عددا عقديا نعتبر المعادلة ذات المجهول العقدي z n z i E A z i P و Q و M هي النقط ذات الألحاق i و i و z على التوالي MP n A أ بين أنه إذا آان z حل للمعادلة E فإن MQ ب بين أنه إذا آان للمعادلة E حل حقيقي على الأقل فإن A 1 ج استنتج أنه إذا آان للمعادلة E حل حقيقي فإن جميع حلولها حقيقية تمرين31 في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم نعتبر النقطتين A و B اللتان لحقاهما على Ou v G G 2 1 هما التوالي B A z z نربط آل عدد عقدي z مخالف ل 2 بالعدد Z المعرف ب 1 2 z Z z 1 حدد مجموعة النقط M ذات اللحق z في آل من الحالتين التاليتين أ Z 1 ب Z 2 أ بين أنه لكل z مخاف ل 2 لدينا Z z 1 23 ب نعتبر النقطة M ذات اللحق z و النقطة M التي لحقها Z u AM u BM و AM BM حدد ثم M A أن بين G JJJJJG G JJJJG ج علما أن النقطة M تنتمي إلى الدائرة التي مرآزها B و شعاعها 3 بين أن M تنتمي إلى دائرة ينبغي تحديد مرآزها و شعاعها 3 أ حدد مجموعة النقط M ذات اللحق z حيث Z i ب لكل عدد حقيقي غير منعدم x نضع 1 2 1 ix d ix و نسمي D النقطة ذات اللحق d حدد الشكل الجبري للعدد 1 2 d d ثم استنتج أن النقطة D تنتمي ل ج ليكن عنصرا من المجال نضع 1 3 2 2 i f e f اللحق ذات النقطة F نسمي و 1 بين أن العدد 1 i i e U e تخيلي صرف 1 بين أن 2 f U f ماذا نستنتج بالنسبة للنقطة F